Vous pouvez aussi utiliser l'exponentielle complexe :
I = Re
b
a
e
(α+iβ)t dt
= Re
e
(α+iβ)t
α + iβ
b
a
= · · ·
2.4 Intégration par changement de variable
Soit u une fonction de classe C
1 de [α,β] dans [a,b], et f une fonction continue
sur [a,b]. Alors :
β
α
f
u(t)
u
(t) dt =
u(β)
u(α)
f (x) dx .
Si, de plus, u est bijective, on a :
b
a
f (x) dx =
u
−1 (b)
u −1 (a)
f
u(t)
u
(t) dt .
Dans les exercices, le symbole dx se transforme comme une différentielle :
x = u(t) ⇒ dx = u
(t) dt .
3. Primitives et fonctions rationnelles
3.1 Primitives d'une fonction rationnelle
• On décompose la fraction rationnelle en éléments simples dans R[X], c'est-àdire comme somme de sa partie entière (polynôme dont on connaît les primitives) et de fractions de la forme :
a
(x − α) n et
ax + b
(x 2 + px + q) n
avec p
2
− 4q < 0.
On peut en calculer des primitives comme suit (n = 1 dans le second cas).
• Sur un intervalle ne contenant pas α, on a :
x
a
dt
(t − α) n =
−
1
n − 1
1
(t − α) n−1
x
a
si n = / 1
=
ln|t − α|
x
a
si n = 1.
•
x
a
at + b
t 2 + pt + q
dt =
a
2
x
a
2t + p
t 2 + pt + q
dt +
b −
ap
2
x
a
1
t 2 + pt + q
dt .
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Calcul des primitives 14
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Analyse dans
R
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