Pour les fonctions trigonométriques, on linéarise avec les formules
de transformation de produits en sommes (cf. fiche 9), ou avec les
formules d'Euler (cf. fiche 47). On utilise en particulier :
cos
2 x =
1
2
1 + cos 2x
; sin
2 x =
1
2
1 − cos 2x
;
cos
3 x =
1
4
cos 3x + 3 cos x
; sin
3 x =
1
4
3 sin x − sin 3x
.
2.2 Intégration par parties
Soit u et v deux fonctions de classe C
1 sur un intervalle I , et a et b des réels de
I . On a :
b
a
u
(t) v(t) dt =
u(t) v(t)
b
a
−
b
a
u(t) v
(t) dt .
ce qui s'écrit aussi, en terme de primitives :
u
(t) v(t) dt = u(t) v(t) −
u(t) v
(t) dt .
2.3 Cas classiques d'utilisation
P étant un polynôme et α = / 0,
• pour
b
a
P(t) sin (αt + β) dt , on pose v(t) = P(t) et u
(t) = sin (αt + β) ;
• pour
b
a
P(t) cos (αt + β) dt , on pose v(t) = P(t) et u
(t) = cos (αt + β) ;
• pour
b
a
P(t)e
αt+β dt , on pose v(t) = P(t) et u
(t) = e
αt+β ;
• pour
b
a
P(t)ln t dt , on pose v(t) = ln t et u
(t) = P(t).
• Pour calculer I =
b
a
e
αt cos βt dt ou J =
b
a
e
αt sin βt dt , on peut faire
deux intégrations par parties « sans changer d'avis », c'est-à-dire en posant les
deux fois v(t) = e
αt , ou les deux fois v(t) = cos βt ou sin βt .
Calcul des primitives
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