3.2 Linéarité
b
a
[ f (x) + g(x)] dx =
b
a
f (x) dx +
b
a
g(x) dx .
∀k ∈ R
b
a
k f (x) dx = k
b
a
f (x) dx .
3.3 Relation de Chasles
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx .
3.4 Relation d'ordre
• Si a < b, et si f g sur [a,b], alors :
b
a
f (x) dx
b
a
g(x) dx .
• Si f est continue et positive sur [a,b], on a :
b
a
f (x) dx = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a,b] f (x) = 0 .
3.5 Majoration de l'intégrale
• Valeur absolue :
Si a < b
b
a
f (x) dx
b
a
| f (x)| dx .
• Si, pour tout x ∈ [a,b] (avec a < b), on a m f (x) M, alors :
m
1
b − a
b
a
f (x) dx M .
Le nombre
1
b − a
b
a
f (x) dx est la valeur moyenne de f sur [a,b].
• Inégalité de la moyenne :
Si a < b
b
a
f (x)g(x) dx
sup
x∈[a,b]
| f (x)| ×
b
a
|g(x)| dx .
En particulier :
b
a
f (x) dx
|b − a| sup | f | .
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Intégrales définies 13
41
Analyse dans
R
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