3.6 Inégalité de Cauchy-Schwarz
L'application : ( f,g) →
b
a
f (x)g(x) dx définit un produit scalaire (cf. fiche
63) sur l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b].
En particulier, l'inégalité de Cauchy-Schwarz prend la forme :
b
a
f (x)g(x) dx
b
a
f 2 (x) dx ×
b
a
g 2 (x) dx .
3.7 Sommes de Riemann
lim
n→∞
1
n
n−1
i=0
f
i
n
=
1
0
f (x) dx .
Plus généralement, si (x 0 ,. . . ,x n ) est une subdivision de [ a,b ] dont le pas tend
vers 0 quand n tend vers l'infini, et c i un point quelconque de [ x i ,x i+1 ] (le plus
souvent x i ou x i+1 ), on a alors :
lim
n→∞
n−1
i=0
(x i+1 − x i ) f (c i ) =
b
a
f (x) dx .
4. Cas d'une fonction à valeurs complexes
Soit t → ϕ(t) = f (t) + ig(t) une fonction de R dans C, définie sur [a,b].
ϕ est continue par morceaux sur [a,b] si, et seulement si, f et g le sont.
L'intégrale de ϕ sur [a,b] est alors définie par :
b
a
ϕ(t) dt =
b
a
f (t) dt + i
b
a
g(t) dt .
Toutes les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux, à
valeurs réelles, qui ont encore un sens, sont prolongées, soit :
linéarité, relation de Chasles, majoration du module de l'intégrale :
b
a
f (x) dx
b
a
| f (x)| dx .
N'oubliez pas qu'il n'y a pas de relation d'ordre dans C, ce qui fait
que f 0, ou f g, n'aurait pas de sens.
Intégrales définies
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