2.2 Approximation par une fonction en escalier
Soit f continue par morceaux sur [a,b].
Pour tout réel ε > 0 , il existe ϕ et ψ, fonctions en escalier sur [a,b], telles que :
ϕ f ψ
et
ψ − ϕ ε .
2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Soit f continue par morceaux sur [a,b]. Il existe un réel unique I tel que, pour toutes fonctions en escalier sur [a,b] ϕ et ψ vérifiant ϕ f ψ, on ait :
I (ϕ) I I (ψ) .
Ce nombre I s'appelle l'intégrale de f sur [a,b] , et se note I ( f ), ou
b
a
f (x) dx ,
ou
[a,b]
f .
Ce nombre dépend de f, de a, de b, mais pas de la variable d'intégration, notée ici
x, qui est une variable muette, ce qui signifie qu'on peut la noter par toute lettre
non retenue pour un autre usage.
Pour a < b, on pose
a
b
f (x) dx = −
b
a
f (x) dx .
2.4 Interprétation géométrique
b
a
f (x) dx correspond à l'aire du domaine du
plan situé sous le graphique de f, comptée
– positivement pour la partie située au-dessus
de l'axe des abscisses,
– négativement pour la partie située en dessous.
3. Propriétés d'une intégrale
f et g sont des fonctions de R dans R, continues par morceaux sur les intervalles
considérés.
3.1 Invariance
L'intégrale
b
a
f (x) dx ne change pas si l'on modifie la valeur de f sur [a,b] en
un nombre fini de points.
Intégrales définies
13
40
a
b
+
–
+
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