1. Intégrale d'une fonction en escalier
1.1 Subdivision
On appelle subdivision σ de [a,b], la donnée d'un nombre fini de points x 0 ,. . . ,x n
tels que x 0 = a, x n = b, et x 0 < x 1 < · · · < x n−1 < x n .
On note S l'ensemble de toutes les subdivisions de [a,b].
Le pas d'une subdivision (x i ) 0in est le nombre :
max
0in−1
(x i+1 − x i ) .
1.2 Fonction en escalier
Une fonction f, définie sur [a,b], est une fonction en escalier sur [a,b] s'il existe
σ ∈ S telle que f soit constante, et égale à l i , sur chaque intervalle ouvert
]x i ,x i+1 [ .
1.3 Intégrale d'une fonction en escalier
On appelle intégrale de la fonction en escalier f, le nombre :
I ( f ) =
n−1
i=0
l i (x i+1 − x i ) noté aussi
b
a
f (t) dt .
Remarquez que le nombre I ( f ) est en fait une somme d'aires de rectangles et qu'il ne dépend pas de la valeur de f aux points x i de la
subdivision.
2. Intégrale d'une fonction continue par morceaux
2.1 Fonction continue par morceaux
Une fonction f, définie sur [a,b], est continue par morceaux sur [a,b] s'il existe
σ ∈ S telle que :
• f est continue sur chaque intervalle ouvert ]x i ,x i+1 [ ;
• f admet en tout point de la subdivision une limite à gauche et une limite à droite
finies.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
39
Analyse dans
R
13
Intégrales définies
1 re année
9782100549245-fredon-C12-23.qxd 18/06/10 10:22 Page 39