L'ensemble des suites réelles qui vérifient la relation (1) est un espace vectoriel de
dimension 2. On en cherche une base par la résolution de l'équation caractéristique :
ar
2
+ br + c = 0
(E).
• Cas a, b, c complexes
Si = / 0, (E) a deux racines distinctes r 1 et r 2 . Toute suite vérifiant (1) est alors
du type :
u n = K 1 r
n
1 + K 2 r
n
2
où K 1 et K 2 sont des constantes que l'on exprime ensuite en fonction de u 0 et u 1 .
Si = 0, (E) a une racine double r 0 = −
b
2a
· Toute suite vérifiant (1) est alors
du type :
u n = (K 1 + K 2 n) r
n
0 .
• Cas a, b, c réels
Si > 0 ou = 0, la forme des solutions n'est pas modifiée.
Si < 0, (E) a deux racines complexes conjuguées r 1 = α + iβ et r 2 = α − iβ
que l'on écrit sous forme trigonométrique r 1 = ρ e
iθ et r 2 = ρ e
−iθ . Toute suite
vérifiant (1) est alors du type :
u n = ρ
n
(K 1 cos nθ + K 2 sin nθ) = ρ
n A cos (nθ − ϕ) .
2.2 Suites récurrentes u n+1 = f (u n )
• Pour étudier une telle suite, on détermine d'abord un intervalle I contenant toutes les valeurs de la suite.
• Limite éventuelle
Si (u n ) converge vers l et si f est continue en l, alors f (l) = l.
• Cas f croissante
Si f est croissante sur I , alors la suite (u n ) est monotone.
La comparaison de u 0 et de u 1 permet de savoir si elle est croissante ou décroissante.
• Cas f décroissante
Si f est décroissante sur I , alors les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones et de
sens contraire.
Cherchez à étudier si elles sont adjacentes ou non
Fonctions numériques
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