3. Suites monotones
3.1 Définition
La suite (u n ) est croissante si u n+1 u n pour tout n ;
décroissante si u n+1 u n pour tout n ;
stationnaire si u n+1 = u n pour tout n.
3.2 Convergence
Toute suite de réels croissante et majorée est convergente.
Toute suite de réels décroissante et minorée est convergente.
Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +∞ .
3.3 Suites adjacentes
Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes si :
(u n ) est croissante ; (v n ) est décroissante ; lim
n→+∞
(v n − u n ) = 0 .
Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite.
Si (u n ) croissante, (v n ) décroissante et u n v n pour tout n, alors
elles convergent vers l 1 et l 2 .
Il reste à montrer que l 1 = l 2 pour qu'elles soient adjacentes.
4. Suites complexes
Soit z n = x n + iy n . La définition de la convergence de (z n ) vers l = a + ib est la
même que pour les suites réelles, en remplaçant la valeur absolue par le module.
Elle est équivalente à la convergence à la fois de (x n ) vers a et de (y n ) vers b.
Les opérations algébriques sur les limites de suites convergentes sont les mêmes
que dans le cas de suites réelles.
Attention, n'a aucun sens dans C. N'inventez donc pas de théorèmes relatifs aux relations d'ordre.
Suites numériques
11
36
9782100549245-fredon-C11.qxd 18/06/10 10:20 Page 36