2. Opérations sur les suites
2.1 Opérations algébriques
Si (u n ) et (v n ) convergent vers l et et l
, alors les suites (u n + v n ), (λ u n ) et
(u n v n ) convergent respectivement vers l + l
, λ l et l l
.
Si l
= / 0,
u n
v n
converge vers
l
l ·
Si (u n ) tend vers 0 et si (v n ) est bornée, alors la suite (u n v n ) tend vers 0.
2.2 Relation d'ordre
Si (u n ) et (v n ) sont des suites convergentes telles que l'on ait u n v n pour
n n 0 , alors on a : lim
n→+∞
u n lim
n→+∞
v n .
Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes.
2.3 Théorème d'encadrement
Si, à partir d'un certain rang, u n x n v n et si (u n ) et (v n ) convergent vers la
même limite l, alors la suite (x n ) est convergente vers l.
2.4 Suites extraites
• La suite (v n ) est dite extraite de la suite (u n ) s'il existe une application ϕ de N
dans N, strictement croissante, telle que v n = u ϕ(n) .
On dit aussi que (v n ) est une sous-suite de (u n ).
• Si (u n ) converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l.
Si une suite extraite de (u n ) diverge, ou si deux suites extraites ont
des limites différentes, alors (u n ) diverge.
Si des suites extraites de (u n ) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure que (u n ) converge vers l si tout u n est un terme
d'une des suites extraites étudiées. Par exemple, si (u 2n ) et (u 2n+1 )
convergent vers l, alors (u n ) converge vers l.
2.5 Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Suites numériques 11
35
Analyse dans
R
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2.1 Opérations algébriques
Si (u n ) et (v n ) convergent vers l et et l
, alors les suites (u n + v n ), (λ u n ) et
(u n v n ) convergent respectivement vers l + l
, λ l et l l
.
Si l
= / 0,
u n
v n
converge vers
l
l ·
Si (u n ) tend vers 0 et si (v n ) est bornée, alors la suite (u n v n ) tend vers 0.
2.2 Relation d'ordre
Si (u n ) et (v n ) sont des suites convergentes telles que l'on ait u n v n pour
n n 0 , alors on a : lim
n→+∞
u n lim
n→+∞
v n .
Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes.
2.3 Théorème d'encadrement
Si, à partir d'un certain rang, u n x n v n et si (u n ) et (v n ) convergent vers la
même limite l, alors la suite (x n ) est convergente vers l.
2.4 Suites extraites
• La suite (v n ) est dite extraite de la suite (u n ) s'il existe une application ϕ de N
dans N, strictement croissante, telle que v n = u ϕ(n) .
On dit aussi que (v n ) est une sous-suite de (u n ).
• Si (u n ) converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l.
Si une suite extraite de (u n ) diverge, ou si deux suites extraites ont
des limites différentes, alors (u n ) diverge.
Si des suites extraites de (u n ) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure que (u n ) converge vers l si tout u n est un terme
d'une des suites extraites étudiées. Par exemple, si (u 2n ) et (u 2n+1 )
convergent vers l, alors (u n ) converge vers l.
2.5 Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente.
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