32
1. Fonctions hyperboliques
1.1 Définitions
∀x ∈ R
ch x =
e
x
+ e
−x
2
; sh x =
e
x
− e
−x
2
; th x =
sh x
ch x
·
ch est paire ; sh et th sont impaires.
1.2 Propriétés algébriques
ch x + sh x = e
x
; ch
2 x − sh
2 x = 1 ; 1− th
2 x =
1
ch
2 x
·
1.3 Dérivées
∀x ∈ R (sh x)
= ch x ; (ch x)
= sh x ; (th x)
=
1
ch
2 x
= 1 − th
2 x .
1.4 Graphes
Le graphe de ch est situé au-dessus de celui de sh.
Le graphe de th est situé entre les deux asymptotes y = −1 et y = 1 :
10
1 re année
Fonctions hyperboliques
et réciproques
y
y
x
x
1
1
1
0
1
–1
0
th
ch
sh
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1. Fonctions hyperboliques
1.1 Définitions
∀x ∈ R
ch x =
e
x
+ e
−x
2
; sh x =
e
x
− e
−x
2
; th x =
sh x
ch x
·
ch est paire ; sh et th sont impaires.
1.2 Propriétés algébriques
ch x + sh x = e
x
; ch
2 x − sh
2 x = 1 ; 1− th
2 x =
1
ch
2 x
·
1.3 Dérivées
∀x ∈ R (sh x)
= ch x ; (ch x)
= sh x ; (th x)
=
1
ch
2 x
= 1 − th
2 x .
1.4 Graphes
Le graphe de ch est situé au-dessus de celui de sh.
Le graphe de th est situé entre les deux asymptotes y = −1 et y = 1 :
10
1 re année
Fonctions hyperboliques
et réciproques
y
y
x
x
1
1
1
0
1
–1
0
th
ch
sh
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