5. Fonction exponentielle complexe
z = a + ib étant un nombre complexe, on définit e
z par :
e
z
= e
a+ib
= e
a
(cos b + i sin b) .
On prolonge ainsi les propriétés de l'exponentielle réelle :
∀z 1 ∈ C
∀z 2 ∈ C 2
e
z 1 +z 2 = e
z 1 × e
z 2
∀z ∈ C
∀n ∈ Z
(e
z
)
n
= e
nz
.
z = a + ib étant un nombre complexe fixé, on définit une fonction de R dans C :
t → e
zt en posant :
e
zt
= e
(a+ib)t
= e
at
(cos bt + i sin bt) .
La dérivée d'une fonction de R dans C : t → ϕ(t) = f (t) + ig(t) étant définie
par : ϕ
(t) = f
(t) + ig
(t) , on obtient :
d
dt
(e
zt
) = ze
zt .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Logarithmes, exponentielles et puissances 8
27
Analyse dans
R
9782100549245-fredon-C08.qxd 18/06/10 10:14 Page 27