4. Fonctions puissances et comparaisons
4.1 Fonctions puissances
La fonction x → x
r , pour x > 0 et r ∈ Q, est déjà connue. On la généralise, pour
x > 0 et a ∈ R, en posant :
x
a
= e
a ln x .
Les propriétés connues pour les exposants rationnels sont prolongées ; en particulier (x
a
)
= ax
a−1 .
Remarquez bien qu'ici l'exposant est constant.
Pour a < 0, la fonction x → x
a est décroissante de +∞ à 0.
Pour a > 0, la fonction x → x
a est croissante de 0 à +∞ . Dans ce cas, on peut
prolonger la fonction par continuité en 0. La fonction prolongée est dérivable en
0, si a > 1.
4.2 Comparaison des fonctions logarithmes et puissances
Pour b > 0, on a :
lim
x→+∞
ln x
x b = 0 ; lim
x→0 +
x
b ln x = 0 .
4.3 Comparaison des fonctions puissances et exponentielles
Pour a > 1 et b quelconque, on a :
lim
x→+∞
a
x
x b = +∞ .
4.4 Comparaison des fonctions logarithmes et exponentielles
Pour a > 1, on a :
lim
x→+∞
ln x
a x = 0 .
Logarithmes, exponentielles et puissances
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