2.2 Propriétés algébriques
∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀r ∈ Q
e
a+b
= e
a
× e
b
; e
ra
= (e
a
)
r
; e
−a
=
1
e a ; e
a−b
=
e
a
e b ·
2.3 Convexité
La fonction x → e
x est convexe sur R, ce qui entraîne :
∀x ∈ R
1 + x e
x .
La dérivée en x = 0 étant égale à 1, on a aussi : e
x
− 1 ∼
0
x.
3. Logarithme et exponentielle de base a
3.1 Logarithme de base a
La fonction logarithme de base a (a > 0 ; a = / 1 ), est la fonction définie par :
∀x > 0
log a (x) =
ln x
ln a
·
Sa dérivée est : (log a x)
=
1
ln a
×
1
x
·
Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln.
Si a = 10, log a est le logarithme décimal. On le note log.
3.2 Exponentielle de base a
La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction définie par :
∀x ∈ R
exp a (x) = a
x
= e
x ln a
.
Pour a = / 1, c'est la fonction réciproque de la fonction log a .
y = a
x
⇐⇒ ln y = x ln a ⇐⇒ x = log a (y) .
Sa dérivée est : (a
x
)
= ln a × a
x .
Remarquez bien qu'ici, la variable est en exposant.
Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction exp.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Logarithmes, exponentielles et puissances 8
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Analyse dans
R
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