Attention, il s'agit d'une condition suffisante de dérivabilité, mais
elle n'est pas nécessaire. Il peut arriver que f
d (a) existe sans que f
ait une limite en a.
2. Variations d'une fonction dérivable
2.1 Théorème
Si, pour tout x ∈ I, f
(x) = 0 alors f est constante sur I .
Si, pour tout x ∈ I, f
(x) 0 alors f est croissante sur I .
Si, pour tout x ∈ I, f
(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I .
Ce dernier résultat est encore valable si f
s'annule en des point isolés, c'est-à-dire
tels que leur ensemble ne contienne pas d'intervalle.
2.2 Condition suffisante d'extremum local
f, f
et f
étant continues sur ]a,b[, si en x 0 ∈ ]a,b[ , on a f
(x 0 ) = 0 et
f
(x 0 ) = / 0 , la fonction f présente un extremum local en x 0 .
C'est un maximum si f
(x 0 ) < 0 , un minimum si f
(x 0 ) > 0 .
3. Convexité
3.1 Partie convexe, fonction convexe
Une partie du plan est dite convexe si, dès qu'elle contient deux points A et B,
elle contient tout le segment [AB].
Une fonction f, définie sur un intervalle I , est convexe sur I si la partie du plan
située au-dessus de la courbe est convexe ; c'est-à-dire si tout arc de sa courbe
représentative est situé au-dessous de la corde correspondante. Cette définition se
traduit par :
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I ∀k ∈ [0,1]
f [kx 1 + (1 − k)x 2 ] k f (x 1 ) + (1 − k) f (x 2 ).
Si − f est convexe, f est dite concave.
3.2 Inégalité de convexité
f étant convexe sur I , si x 1 ,. . . ,x n appartiennent à I , si λ 1 ,. . . ,λ n sont des réels
positifs tels que
n
i=1
λ i = 1 , alors
Étude globale des fonctions dérivables
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