1. Théorème de Rolle et des accroissements finis
1.1 Condition nécessaire d'extremum local
Si f admet un extremum local en x 0 et si f est dérivable, alors f
(x 0 ) = 0.
1.2 Théorème de Rolle
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et telle que
f (a) = f (b) .
Alors il existe au moins un point c ∈]a,b[ tel que f
(c) = 0.
Autre énoncé
Si f est dérivable, entre deux valeurs qui annulent f, il existe au moins une valeur
qui annule f
.
1.3 Égalité des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au
moins un point c ∈]a,b[ tel que :
f (b) − f (a) = (b − a) f
(c) .
Cette égalité, valable pour les fonctions de R dans R, ne se généralise pas, ainsi que le théorème de Rolle.
1.4 Inégalité des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[.
Si m f
M, alors :
m (b − a) f (b) − f (a) M (b − a) .
En particulier, si | f | M , alors | f (b) − f (a)| M(b − a) .
1.5 Limite de la dérivée
Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et si f
a une limite finie l en a,
alors f est dérivable à droite en a et f
d (a) = l.
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Analyse dans
R
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1 re année
Étude globale
des fonctions dérivables
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