1. Définitions
Une surface du second degré f (x,y,z) = 0 , où f est un polynôme de degré 2 par
rapport aux trois variables, peut être soit deux plans, soit un cylindre, soit un
cône, soit une quadrique propre de l'un des cinq types qui suivent.
On peut les décrire à partir de leurs équations réduites dans un repère orthormal.
2. Types de quadrique
• Ellipsoïde
Équation réduite :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 +
z
2
c 2 = 1.
• Hyperboloïde à une nappe
Équation réduite :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = 1. C'est une surface réglée.
• Hyperboloïde à deux nappes
Équation réduite :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = −1.
• Paraboloïde elliptique
Équation réduite :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = z.
• Paraboloïde hyperbolique
Équation réduite :
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = z. C'est une surface réglée.
3. Centres de symétrie
Tout centre de symétrie d'une surface du second degré f (x,y,z) = 0 vérifie
− − →
grad f (x,y,z) =
− →
0 , et la recherche d'une forme réduite se fait en prenant pour
origine un tel point.
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Géométrie
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Quadriques
2 e année
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