4. Réduction de l'équation d'une surface du second degré
Soit S une surface algébrique du second degré d'équation
f (x,y,z) = 0 où f est un polynôme de degré 2.
Les termes de f de degré égal à 2 définissent une forme quadratique q dont la
matrice A est symétrique et réelle. A admet donc trois valeurs propres α, β, γ.
• Cas où les trois valeurs propres sont non nulles (soit rg q = 3 )
Si α, β et γ sont de même signe, S peut être vide, réduite à un point, ou un ellipsoïde.
Si α, β et γ ne sont pas de même signe, S peut être un cône, un hyperboloïde à
une nappe ou à deux nappes.
• Cas où une seule valeur propre est nulle (soit rg q = 2 )
S peut être vide, un paraboloïde elliptique ou hyperbolique, une droite, deux
plans sécants, un cylindre elliptique ou hyperbolique.
• Cas où deux valeurs propres sont nulles (soit rg q = 1 )
S peut être vide, un plan, deux plans parallèles, ou un cylindre parabolique.
Quadriques
81
254
9782100549245-fredon-C68-81.qxd 18/06/10 10:45 Page 254
Soit S une surface algébrique du second degré d'équation
f (x,y,z) = 0 où f est un polynôme de degré 2.
Les termes de f de degré égal à 2 définissent une forme quadratique q dont la
matrice A est symétrique et réelle. A admet donc trois valeurs propres α, β, γ.
• Cas où les trois valeurs propres sont non nulles (soit rg q = 3 )
Si α, β et γ sont de même signe, S peut être vide, réduite à un point, ou un ellipsoïde.
Si α, β et γ ne sont pas de même signe, S peut être un cône, un hyperboloïde à
une nappe ou à deux nappes.
• Cas où une seule valeur propre est nulle (soit rg q = 2 )
S peut être vide, un paraboloïde elliptique ou hyperbolique, une droite, deux
plans sécants, un cylindre elliptique ou hyperbolique.
• Cas où deux valeurs propres sont nulles (soit rg q = 1 )
S peut être vide, un plan, deux plans parallèles, ou un cylindre parabolique.
Quadriques
81
254
9782100549245-fredon-C68-81.qxd 18/06/10 10:45 Page 254