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1 re année
Courbes planes
en coordonnées polaires
1. Représentation polaire
Soit
O, − → e 1 , − → e 2
un repère orthonormal du plan. À tout point M, distinct de O,
on peut associer des coordonnées polaires (ρ,θ) telles que
− − →
O M = ρ − → u .
O, − → u , − → v
est le repère polaire orthormal lié à M et défini par :
( − → e 1 , − → u ) = θ ; ( − → u , − → v ) =
π
2
·
Il n'y a pas unicité des coordonnées polaires d'un point. Si k ∈ Z,
alors (ρ,θ + 2kπ) et (−ρ,θ + π + 2kπ)repèrent le même point M.
Le point O est repéré par ρ = 0 et θ quelconque.
Une courbe en coordonnées polaires est l'ensemble des points M du plan dont les
coordonnées polaires sont liées par une relation du type ρ = f (θ) où f est une
fonction de R dans R dérivable autant de fois qu'il sera nécessaire.
2. Domaine d'étude
Soit la courbe d'équation polaire ρ = f (θ) et D l'ensemble de définition de f.
On détermine d'abord un domaine de représentation propre, c'est-à-dire une partie D 1 de D telle que la courbe géométrique soit entièrement décrite, une fois
et une seule, lorsque θ décrit D 1 .
Si f est paire, est symétrique par rapport à la droite x
x et il suffit de faire
l'étude sur D 1 ∩ R + .
Si f est impaire, est symétrique par rapport à la droite y
y et il suffit de faire
l'étude sur D 1 ∩ R + .
3. Tangente en un point
En M(θ) = / O , admet une tangente dirigée par le vecteur
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