− →
T = ρ
(θ) − → u + ρ(θ) − → v .
En M(θ 0 ) = O , admet une tangente d'angle polaire θ 0 .
4. Points d'inflexion
Les points d'inflexion de correspondent aux valeurs de θ pour lesquelles l'une
des deux expressions suivantes s'annule en changeant de signe, avec ρ = / 0 :
ρ
2
+ 2ρ
2
− ρρ
;
1
ρ
+
1
ρ
.
5. Branches infinies
• Si θ → ±∞ , la courbe présente une spirale.
• Si θ → θ 0 et ρ = f (θ) → ±∞ , alors l'axe O X d'angle θ 0 est une direction
asymptotique de .
Dans le repère orthonormal direct (O X,OY ), l'ordonnée de M s'écrit
Y = ρ(θ) sin (θ − θ 0 ) et on étudie sa limite lorque θ tend vers θ 0 .
Si lim
θ→θ 0
ρ(θ) sin (θ − θ 0 ) = l (limite finie), alors admet pour asymptote la
droite Y = l.
Attention en traçant la droite Y = l à bien utiliser le nouveau repère
(O X,OY ).
6. Équation polaire de quelques courbes
• Droite passant par O : θ =cte.
• Droite ne passant pas par O : ρ =
1
a cos θ + b sin θ
·
• Cercle de centre O : ρ =cte.
• Cercle passant par O : ρ = a cos θ + b sin θ.
• Conique de foyer O, de paramètre p, d'excentricité e :
ρ =
p
1 + e cos (θ − θ 0 )
·
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Courbes planes en coordonnées polaires 77
245
Géométrie
9782100549245-fredon-C68-81.qxd 28/06/10 8:48 Page 245