1. Généralités
Soit
− →
F une fonction vectorielle de classe C
k (k aussi grand que nécessaire) définie sur une partie non vide D de R et à valeurs dans R
2 ou R
3 . L'ensemble des
points M tels que
− − →
O M =
− →
F (t)
t ∈ D
est une courbe paramétrée.
Si D est un intervalle, il s'agit d'un arc de courbe.
On dit que
− →
F (t) est une représentation paramétrique de , ou encore que a
pour équations paramétriques :
x = x(t) ; y = y(t)
t ∈ D.
Une même courbe (ensemble de points) a plusieurs paramétrages.
2. Représentation propre
Pour construire , on détermine d'abord un domaine de représentation propre,
c'est-à-dire une partie D 1 de D telle que la courbe géométrique soit entièrement
décrite, et une seule fois, lorsque t décrit D 1 .
Cette étape apparaît lorsque x et y sont périodiques avec une période commune, ou lorsqu'elles sont toutes les deux paires.
3. Domaine d'étude
Si x et y sont deux fonctions impaires, est symétrique par rapport au point O
et il suffit de faire l'étude sur D 1 ∩ R + .
Si x est paire et y impaire, est symétrique par rapport à la droite x
x et il suffit
de faire l'étude sur D 1 ∩ R + .
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Géométrie
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Courbes planes paramétrées
1 re année
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