4. Hyperbole
4.1 Équation réduite
L'hyperbole H et son axe focal ont deux
points communs, les sommets A et A
.
Le milieu O de [A A
] est le centre de H .
La médiatrice de [A A
] est l'axe non focal. Il
ne rencontre pas l'hyperbole.
Si F
et D
sont les symétriques de F et D par
rapport à O, l'hyperbole de foyer F
, de directrice D
et d'excentricité e est la même hyperbole.
On pose A A
= 2a, F F
= 2c et b
2
= c
2
− a
2 . Dans le repère orthonormal
d'origine O et admettant l'axe focal comme axe des abscisses et l'axe non focal
comme axe des ordonnées, l'équation de H est :
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1.
On a e =
c
a
et D a pour équation x =
a
2
c
·
4.2 Équation des asymptotes
y =
b
a
x ; y = −
b
a
x.
4.3 Représentation paramétrique
x = a ch θ
y = b sh θ
θ ∈ R
4.4 Définition bifocale
Soit F et F
deux points distincts du plan et a un réel tel que 0 < 2a < F F
.
L'ensemble des points M du plan tels que |M F − M F
| = 2a est une hyperbole
de foyers F et F
.
Coniques
75
240
y
A
x
F
O
F'
A'
B
D'
D
H
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