3. Ellipse
3.1 Équation réduite
L'ellipse E et son axe focal ont deux points
communs, A et A
, sommets de l'axe focal.
Le milieu O de [A A
] est le centre de E .
La médiatrice de [A A
] est l'axe non focal. Elle
coupe l'ellipse en B et B
, sommets de l'axe non
focal.
Si F
et D
sont les symétriques de F et D par
rapport à O, l'ellipse de foyer F
, de directrice D
et d'excentricité e est la même
ellipse.
On pose A A
= 2a et B B
= 2b. Dans le repère orthonormal d'origine O et
admettant l'axe focal comme axe des abscisses et l'axe non focal comme axe des
ordonnées, l'équation de E est :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1.
En posant c =
√
a 2 − b 2 , on a F F
= 2c, e =
c
a
et D a pour équation x =
a
2
c
·
3.2 Représentation paramétrique
x = a cos θ
y = b sin θ
θ ∈ [0,2π[
3.3 Définition bifocale
Soit F et F
deux points distincts du plan et a un réel tel que F F
< 2a .
L'ensemble des points M du plan tels que M F + M F
= 2a est une ellipse de
foyers F et F
.
C'est avec ce point de vue qu'un jardinier dessine une ellipse pour
réaliser une composition florale.
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Coniques 75
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Géométrie
y
A
x
F
B'
O
F'
A'
B
D'
D
ε
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