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Similitudes directes du plan 74
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Géométrie
5. Détermination d'une similitude plane directe
Étant donnés des points A,B,A
,B
tels que AB = / 0 et A
B
= / 0, il existe une
similitude directe s, et une seule, transformant A en A
et B en B
.
• Si
− − →
A
B
=
− →
AB , alors s est la translation de vecteur
−→
A A
.
• Si
− − →
A
B
et
− →
AB sont colinéaires et distincts, s est une homothétie dont le centre
est à l'intersection de (A A
) et de (B B
).
• Si
− − →
A
B
et
− →
AB ne sont pas colinéaires, notons I l'intersection de (A A
) et de
(B B
). Le centre de la similitude s est à l'intersection des cercles (A A
I ) et
(B B
I ).
6. Utilisation des nombres complexes
• Théorème
Une application f du plan dans lui-même est une similitude directe si, et seulement si, il existe deux nombres complexes a et b, avec a = / 0, tels que tout point
M d'affixe z ait pour image M
= f (M) d'affixe :
z
= az + b
• Forme réduite
• Si a = 1 et b = b 1 + ib 2 , alors f est la translation de vecteur − → u
b 1
b 2
.
• Si a = / 1, f est la similitude de rapport k = |a|, d'angle θ = arg a et de centre
d'affixe
b
1 − a
·
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