1. Définition
Soit k > 0. Une similitude plane directe s de rapport k est une transformation
affine du plan qui multiplie les distances par k et qui conserve les angles orientés.
2. Décomposition
Une application du plan dans lui-même est une similitude plane directe de rapport k si, et seulement si, elle est la composée d'un déplacement et d'une homothétie de rapport k.
Cette décomposition n'est pas unique.
3. Forme réduite
Soit s une similitude plane directe.
• Si s possède au moins deux points invariants, c'est l'identité du plan.
• Si s n'a aucun point invariant, c'est une translation de vecteur non nul.
• Si s a un seul point invariant , alors s s'écrit de façon unique, sous la forme :
s = r ◦ h = h ◦ r
où h est l'homothétie de centre et de rapport k et r la rotation de centre et
d'angle θ.
est le centre de la similitude, θ l'angle de la similitude, k le rapport de la similitude.
4. Structure algébrique
L'ensemble des similitudes planes directes est un sous-groupe du groupe affine du
plan.
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1 re année
Similitudes directes
du plan
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Soit k > 0. Une similitude plane directe s de rapport k est une transformation
affine du plan qui multiplie les distances par k et qui conserve les angles orientés.
2. Décomposition
Une application du plan dans lui-même est une similitude plane directe de rapport k si, et seulement si, elle est la composée d'un déplacement et d'une homothétie de rapport k.
Cette décomposition n'est pas unique.
3. Forme réduite
Soit s une similitude plane directe.
• Si s possède au moins deux points invariants, c'est l'identité du plan.
• Si s n'a aucun point invariant, c'est une translation de vecteur non nul.
• Si s a un seul point invariant , alors s s'écrit de façon unique, sous la forme :
s = r ◦ h = h ◦ r
où h est l'homothétie de centre et de rapport k et r la rotation de centre et
d'angle θ.
est le centre de la similitude, θ l'angle de la similitude, k le rapport de la similitude.
4. Structure algébrique
L'ensemble des similitudes planes directes est un sous-groupe du groupe affine du
plan.
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