3.2 Théorème
Étant donnés deux points distincts A et B du plan ou de l'espace, il existe une
réflexion, et une seule, échangeant A et B.
3.3 Composée de deux réflexions dans le plan
La composée de deux réflexions par rapport aux droites D 1 et D 2 est :
• une translation si D 1 et D 2 sont parallèles,
• une rotation de centre si D 1 et D 2 sont sécantes en .
Réciproquement, toute translation, et toute rotation, peut se décomposer en produit de deux réflexions.
3.4 Composée de deux réflexions dans l'espace
La composée de deux réflexions par rapport aux plans P 1 et P 2 est :
• une translation si P 1 et P 2 sont parallèles,
• une rotation d'axe si P 1 ∩ P 2 = .
Réciproquement, toute translation, et toute rotation, peut se décomposer en produit de deux réflexions.
4. Déplacements du plan
Tout déplacement du plan est :
• soit une translation (pas de point invariant),
• soit une rotation de centre ( est le seul point invariant).
5. Antidéplacements du plan
Tout antidéplacement du plan est :
• soit une réflexion d'axe D (les points invariants forment une droite D),
• soit la composée commutative d'une réflexion d'axe D et d'une translation de
vecteur non nul appartenant à la direction de D.
Si l'on compose une réflexion s D et une translation t − → u
sans que − → u
appartienne à la direction de D, il ne s'agit pas de la forme réduite et
la composition n'est pas commutative.
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Étant donnés deux points distincts A et B du plan ou de l'espace, il existe une
réflexion, et une seule, échangeant A et B.
3.3 Composée de deux réflexions dans le plan
La composée de deux réflexions par rapport aux droites D 1 et D 2 est :
• une translation si D 1 et D 2 sont parallèles,
• une rotation de centre si D 1 et D 2 sont sécantes en .
Réciproquement, toute translation, et toute rotation, peut se décomposer en produit de deux réflexions.
3.4 Composée de deux réflexions dans l'espace
La composée de deux réflexions par rapport aux plans P 1 et P 2 est :
• une translation si P 1 et P 2 sont parallèles,
• une rotation d'axe si P 1 ∩ P 2 = .
Réciproquement, toute translation, et toute rotation, peut se décomposer en produit de deux réflexions.
4. Déplacements du plan
Tout déplacement du plan est :
• soit une translation (pas de point invariant),
• soit une rotation de centre ( est le seul point invariant).
5. Antidéplacements du plan
Tout antidéplacement du plan est :
• soit une réflexion d'axe D (les points invariants forment une droite D),
• soit la composée commutative d'une réflexion d'axe D et d'une translation de
vecteur non nul appartenant à la direction de D.
Si l'on compose une réflexion s D et une translation t − → u
sans que − → u
appartienne à la direction de D, il ne s'agit pas de la forme réduite et
la composition n'est pas commutative.
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