© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Géométrie euclidienne du plan et de l’espace 72
231
Géométrie
Elle est définie par :
M ∈ ⇐⇒
det
−−→
A 1 M, − → u 1 , − → u 1 ∧ − → u 2
= 0
det
−−→
A 2 M, − → u 2 , − → u 1 ∧ − → u 2
= 0
• Distance entre deux droites
d(D 1 ,D 2 ) =
det
−−→
A 1 A 2 , − → u 1 , − → u 2
− → u 1 ∧ − → u 2
·
1.3 Angles
• Angle orienté de deux demi-droites du plan
Soit D 1 et D 2 deux demi-droites de vecteurs directeurs respectifs − → u 1 et − → u 2 . La
mesure de leur angle orienté est celle de l'angle de vecteurs ( − → u 1 , − → u 2 ) .
• Angle de deux droites de l'espace
Soit D 1 et D 2 deux droites de vecteurs directeurs respectifs − → u 1 et − → u 2 . La mesure
de leur angle est le réel θ ∈
0,
π
2
tel que cos θ =
− → u 1 · − → u 2
− → u 1 − → u 2
·
• Angle de deux plans de l'espace
Soit P 1 et P 2 deux plans de vecteurs normaux respectifs − → n 1 et − → n 2 . La mesure de
leur angle est le réel θ ∈
0,
π
2
tel que cos θ =
− → n 1 · − → n 2
− → n 1 − → n 2
·
• Angle d'une droite et d'un plan de l'espace
Soit D une droite de vecteur directeur − → u et P un plan de vecteur normal − → n .
La mesure de leur angle est le réel θ ∈
0,
π
2
tel que sin θ =
| − → u · − → n |
− → u − → n
·
2. Cercles et sphères
2.1 Dans le plan
• Équation cartésienne d'un cercle
Le cercle de centre (a,b) et de rayon R a pour équation :
(x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2 .
9782100549245-fredon-C68-81.qxd 18/06/10 10:44 Page 231