1. Distances et angles
1.1 Distance d'un point à une droite ou à un plan
On munit le plan, ou l'espace, euclidien d'un repère orthonormal qui définit
l'orientation.
• Dans le plan
Soit D la droite d'équation : ax + by + c = 0.
Le vecteur − → n (a,b) est normal à D.
La distance de M 0 (x 0 ,y 0 ) à D est : d(M 0 ,D) =
|ax 0 + by 0 + c|
√
a 2 + b 2
·
• Dans l'espace
Soit P le plan d'équation : ax + by + cz + d = 0 .
Le vecteur − → n (a,b,c) est normal à P. La distance de M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) à P est :
d(M 0 ,P) =
|ax 0 + by 0 + cz 0 + d|
√
a 2 + b 2 + c 2
·
La distance de M 0 à la droite D passant par A et de vecteur directeur − → u est :
d(M 0 ,D) =
−→
M A ∧ − → u
− → u
·
1.2 Distance entre deux droites
• Perpendiculaire commune
Soit D 1 (A 1 , − → u 1 ) et D 2 (A 2 , − → u 2 ) deux droites non parallèles définies par un point
et un vecteur directeur.
La perpendiculaire commune à D 1 et D 2 est l'unique droite qui rencontre D 1 et
D 2 et qui est orthogonale à D 1 et D 2 .
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1 re année
Géométrie euclidienne
du plan et de l’espace
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