3.2 Propriétés
Le produit mixte est
• multilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chacun des vecteurs,
• alterné, c'est-à-dire qu'il est nul si deux des vecteurs sont égaux.
Il en résulte que le produit mixte de trois vecteurs est changé de signe quand on
permute deux des vecteurs, et inchangé quand on effectue une permutation circulaire des trois vecteurs.
3.3 Expression analytique dans une base orthonormale directe
C'est le déterminant des coordonnées des vecteurs :
( − → u , − → v , − → w ) =
x x
x
y y
y
z z
z
= x
y
y
z
z
− y
x
x
z
z
+ z
x
x
y
y
3.4 Applications
Le volume du parallélépipède d'arêtes O A, O B et OC est égal à
(
−→
O A,
−→
O B,
−→
OC)
.
Trois vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leur produit mixte est nul.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Calcul vectoriel 71
229
Géométrie
9782100549245-fredon-C68-81.qxd 18/06/10 10:44 Page 229