• si − → u et − → v sont colinéaires, − → w =
− →
0 ,
• si − → u et − → v ne sont pas colinéaires, − → w est orthogonal à − → u et à − → v , de norme
| − → w = = − → u − → v sin ( − → u , − → v ) et le repère
O, − → u , − → v , − → w
est direct.
On le note − → w = − → u ∧ − → v .
2.3 Propriétés
Le produit vectoriel est
• antisymétrique, car on a toujours :
− → u ∧ − → v = − − → v ∧ − → u
• bilinéaire, car on a toujours :
( − → u 1 + − → u 2 ) ∧ − → v = − → u 1 ∧ − → v + − → u 2 ∧ − → v ; (λ − → u ) ∧ − → v = λ( − → u ∧ − → v )
2.4 Expression analytique
Soit (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) est une base orthonormale directe de l'espace. Si l'on a
− → u = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k et − → v = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k , alors :
− → u ∧ − → v = (yz
− zy
)
− →
i + (zx
− xz
)
− →
j + (xy
− yx
)
− →
k
2.5 Double produit vectoriel
− → u ∧ ( − → v ∧ − → w ) = ( − → u . − → w ) − → v − ( − → u . − → v ) − → w
2.6 Application
L'aire d'un triangle ABC est égale à
1
2
− →
AB ∧
− →
AC
.
3. Produit mixte
3.1 Définition
Le produit mixte de trois vecteurs − → u , − → v , − → w de l'espace est le réel :
( − → u , − → v , − → w ) = − → u .( − → v ∧ − → w )
Calcul vectoriel
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