1. Définition
Soit A 1 ,. . . ,A n des points de E et α 1 ,. . . ,α n des réels avec
n
i=1
α i = / 0 .
Le barycentre du système des points pondérés {(A i ,α i ); 1 i n} est l'unique
point G tel que :
n
i=1
α i
− − →
G A i =
− →
0 .
On a alors, pour tout point P :
n
i=1
α i
− − →
P A i =
n
i=1
α i
−→
PG .
En choisissant P = O , on peut ainsi calculer les coordonnées de G.
Si les coefficients α i sont tous égaux, G s'appelle l'isobarycentre des points A i .
2. Propriétés
• Le barycentre d'un système de points pondérés n'est pas modifié si l'on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul.
• Le barycentre d'un ensemble de points pondérés est inchangé si l'on remplace
un sous-ensemble par son barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme des
coefficients des points remplacés.
• Si les n points appartiennent à un même sous-espace affine, leur barycentre est
aussi dans ce sous-espace.
• L'image d'un barycentre par une application affine est le barycentre des images,
affectées des mêmes coefficients.
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Géométrie
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Barycentres
1 re année
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