Son application linéaire associée est l'identité de E.
L'ensemble des translations de V est un sous-groupe de GA(V ).
• Homothéties
Soit A ∈ V et k ∈ R \ {0,1} . L'homothétie h(A,k) de centre A et de rapport k est
l'application affine qui, à M ∈ V , associe M
∈ V tel que
− − →
AM
= k
−→
AM .
Son application linéaire associée est kId E .
La composée de deux homothéties h(A,k) et h(A
,k
) est :
– si kk
= / 1, une homothétie de rapport kk
, dont le centre est aligné avec A et
A
;
– si kk
= 1, une translation.
L'ensemble des homothéties et translations de V est un sous-groupe de GA(V ).
• Projections
Une projection est une application affine p telle que p ◦ p = p.
Son application linéaire associée est un projecteur de E.
L'ensemble des points invariants de p est égal à p(A). C'est un sous-espace affine
de direction Im ϕ . Le noyau Ker ϕ est un supplémentaire de Im ϕ .
On dit que p est la projection sur p(A), parallèlement à Ker ϕ .
• Symétries
Une symétrie est une application affine s telle que s ◦ s = Id A .
Son application linéaire associée est une symétrie de E.
p =
1
2
Id A + s
est une projection.
L'ensemble des points invariants de s est égal à p(A).
On dit que s est la symétrie par rapport à p(A), parallèlement à Ker ϕ .
• Affinités
Soit k ∈ R et p une projection de A. On appelle affinité de rapport k, de base
p(A) et de direction Ker ϕ , l'application affine :
M → M
= k M + (1 − k) p(M).
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Applications affines 69
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Géométrie
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