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1 re année
Applications affines
1. Applications affines
1.1 Définitions
Soit V et V
deux espaces affines dont les directions respectives sont les espaces
vectoriels réels E et E
.
Une application f de V dans V
est dite affine s'il existe un point A de V et une
application linéaire ϕ ∈ L(E,E
) tels que :
∀x ∈ E
f(A + x) = f (A) + ϕ(x) .
ϕ est l'application linéaire associée à f.
On peut aussi écrire :
∀M ∈ V
ϕ(
−→
AM) =
−−−−−−→
f (A) f (B) .
Si f (A) = A, on peut alors identifier ϕ et f.
Si ϕ est un isomorphisme, on dit que f est un isomorphisme affine.
Si E = E
et si ϕ est un automorphisme, on dit que f est une transformation affine.
1.2 Propriétés
• Une application affine conserve l'alignement et le parallélisme.
• La composée de deux applications affines f et g est une application affine dont
l'application linéaire associée est la composée des applications linéaires associées à f et g.
• Les transformations affines de V forment un groupe pour la loi ◦. C'est le groupe
affine GA(V ). L'application :
GA(V ) −→ GL(E)
f
→
ϕ
est un morphisme surjectif de groupes.
1.3 Applications affines particulières
• Translations
Soit u ∈ E. La translation t u est l'application affine qui, à M ∈ V , associe M
∈ V
tel que
−−→
M M
= u.
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