1. Adjoint d'un endomorphisme
1.1 Définition
Soit f ∈ L(E) ; l'adjoint de f est l'unique élément f
∗
∈ L(E) tel que
∀x ∈ E ∀y ∈ E
< f (x)|y >=< x| f
∗
(y) >
1.2 Propriétés
• L'application ϕ : f → f
∗ est un endomorphisme involutif de L(E), c'est-àdire que l'on a toujours :
( f + g)
∗
= f
∗
+ g
∗ ;
λ f
∗ = λ f
∗ ;
f
∗
∗ = f
• Si B est une base orthonormale de E, on a :
A = mat B f ⇒
t A = mat B f
∗ .
Il en résulte
f ◦ g
∗ = g
∗
◦ f
∗ .
Si f est inversible, alors f
∗ est inversible et
f
∗
−1 =
f
−1
∗ .
• Endomorphismes orthogonaux
f ∈ O(E) ⇐⇒ f
∗
= f
−1
• Noyaux et images
Ker f
∗
=
Im f
⊥ ; Im f
∗
=
Ker f
⊥ ; rg( f
∗
) = rg f
f (F) ⊂ F ⇐⇒ f
∗
(F
⊥
) ⊂ F
⊥
2. Endomorphismes symétriques
2.1 Définition
f ∈ L(E) est symétrique, ou autoadjoint, si f = f
∗ , c'est-à-dire :
∀x ∈ E ∀y ∈ E
< f (x)|y >=< x| f (y) >
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67 Endomorphismes
symétriques
2 e année
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