Attention à ne pas confondre endomorphisme symétrique et symétrie.
On note S(E) l'ensemble des endomorphismes symétriques de E.
2.2 Propriétés
• Si A est la matrice de f dans une base orthonormale B, on a
f symétrique ⇐⇒
t A = A .
• S(E) est un sous-espace vectoriel de L(E), mais pas une sous-algèbre car, si
A et B sont symétriques, AB est symétrique si, et seulement si, AB = B A.
• p projecteur orthogonal ⇐⇒ p
2
= p et p
∗
= p.
• s symétrie orthogonale ⇐⇒ s = s
−1
= s
∗ .
2.3 Diagonalisation des endomorphismes symétriques
Soit f un endomorphisme symétrique de E.
• Le polynôme caractéristique de f est scindé sur R.
• f est diagonalisable dans une base orthonormale.
• E est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de f.
• Corollaire
Si A est une matrice carrée symétrique, il existe une matrice diagonale D et une
matrice orthogonale P telles que :
A = P D P
−1
= P D
t P .
Le calcul de P
−1 est immédiat puisque P
−1
=
t P.
2.4 Forme quadratique et valeurs propres
Soit A une matrice symétrique réelle et q la forme quadratique associée.
q est positive ⇐⇒ les valeurs propres de A sont 0 ;
q est définie positive ⇐⇒ les valeurs propres de A sont > 0.
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Endomorphismes symétriques 67
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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