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1. Continuité
1.1 Continuité en un point
• f est continue en x 0 si elle est définie en x 0 et si lim
x→x 0
f (x) = f (x 0 ) .
• f est continue à droite (resp. à gauche) en x 0 si lim
x→x
+
0
f (x) = f (x 0 ) (resp.
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x 0 ) ).
• Prolongement par continuité
Soit f une fonction définie sur I et x 0 /
∈ I. Si lim
x→x 0
f (x) = l , la fonction ˜
f définie
sur I ∪ {x 0 } par ˜
f (x 0 ) = l et ˜
f (x) = f (x) pour x ∈ I, est la seule fonction continue en x 0 dont la restriction à I soit f. On l'appelle le prolongement par continuité de f en x 0 .
1.2 Continuité sur un intervalle
• Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une réunion d'intervalles. Une
fonction f, définie sur E, est dite continue sur E, si f est continue en tout point
de E.
• L'ensemble C(I ) des fonctions continues sur I constitue une algèbre, c'est-àdire que, si f et g sont des éléments de C(I ) et λ un réel, les fonctions f + g,
f g et λ f appartiennent à C(I ), et les opérations ainsi définies possèdent toutes
les propriétés algébriques qui caractérisent la structure que l'on appelle une
algèbre (cf. fiche. 44).
1.3 Image d'un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un intervalle I , alors f (I ) est un intervalle.
• Image d'un intervalle fermé
Si f est continue sur un intervalle fermé I , alors f (I ) est un intervalle fermé.
En particulier, si une fonction f est continue sur [a,b], et si f (a) et f (b) sont de
signe contraire, l'équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a,b].
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1 re année
Continuité
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1. Continuité
1.1 Continuité en un point
• f est continue en x 0 si elle est définie en x 0 et si lim
x→x 0
f (x) = f (x 0 ) .
• f est continue à droite (resp. à gauche) en x 0 si lim
x→x
+
0
f (x) = f (x 0 ) (resp.
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x 0 ) ).
• Prolongement par continuité
Soit f une fonction définie sur I et x 0 /
∈ I. Si lim
x→x 0
f (x) = l , la fonction ˜
f définie
sur I ∪ {x 0 } par ˜
f (x 0 ) = l et ˜
f (x) = f (x) pour x ∈ I, est la seule fonction continue en x 0 dont la restriction à I soit f. On l'appelle le prolongement par continuité de f en x 0 .
1.2 Continuité sur un intervalle
• Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une réunion d'intervalles. Une
fonction f, définie sur E, est dite continue sur E, si f est continue en tout point
de E.
• L'ensemble C(I ) des fonctions continues sur I constitue une algèbre, c'est-àdire que, si f et g sont des éléments de C(I ) et λ un réel, les fonctions f + g,
f g et λ f appartiennent à C(I ), et les opérations ainsi définies possèdent toutes
les propriétés algébriques qui caractérisent la structure que l'on appelle une
algèbre (cf. fiche. 44).
1.3 Image d'un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un intervalle I , alors f (I ) est un intervalle.
• Image d'un intervalle fermé
Si f est continue sur un intervalle fermé I , alors f (I ) est un intervalle fermé.
En particulier, si une fonction f est continue sur [a,b], et si f (a) et f (b) sont de
signe contraire, l'équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a,b].
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