• Cas d'une fonction strictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur un
intervalle I .
f est une bijection de I sur f (I ), et sa bijection réciproque f
−1 est continue et
strictement croissante (resp. décroissante) sur l'intervalle f (I ).
Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de f
−1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes.
2. Continuité uniforme
2.1 Définition
Une fonction f est uniformément continue sur D si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D ∀x
∈ D
|x − x
| α | f (x) − f (x
)| ε
Dans cette écriture logique, α dépend de ε, mais pas de x ; d'où
l'origine du mot uniforme.
La continuité uniforme sur D entraîne la continuité sur D.
2.2 Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
2.3 Cas d'une fonction lipchitzienne
Si f est lipschizienne sur D, alors elle est uniformément continue sur D.
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Continuité 5
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Analyse dans
R
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