2. Matrices orthogonales
2.1 Définition
Une matrice carrée A est dite orthogonale si c'est la matrice de passage d'une base
orthonormale B à une base orthonormale B
.
L'ensemble des matrices orthogonales d'ordre n est le groupe orthogonal d'ordre
n ; il est noté O(n).
2.2 Conditions équivalentes
Une matrice carrée est orthogonale si, et seulement si, ses vecteurs colonnes vérifient :
∀i ∀ j
< C i |C j >= δ i j .
Une matrice carrée d'ordre n est orthogonale si, et seulement si :
t A A = I n ⇐⇒
t A = A
−1 .
2.3 Lien avec les endomorphismes
Soit B une base orthonormale d'un espace euclidien E et A la matrice de
f ∈ L(E) dans B. On a :
A ∈ O(n) ⇐⇒ f ∈ O(E) .
Le groupe O(n) pour le produit de matrices est isomorphe au groupe O(E) pour
la composition des applications.
2.4 Déterminant d'une matrice orthogonale
Si A est une matrice orthogonale, on a det A = ±1 .
Attention, la condition est nécessaire mais non suffisante.
2.5 Groupe spécial orthogonal
On appelle groupe spécial orthogonal SO (E), ou groupe des rotations de E, le
sous-groupe de O(E) formé des automorphismes orthogonaux de déterminant
égal à 1.
De même pour les matrices : SO (n) = {A ∈ O(n) ; det A = 1} .
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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