1. Définitions et caractérisations
1.1 Définition
Dans un espace vectoriel euclidien E, un endomorphisme f est dit orthogonal s'il
conserve le produit scalaire, soit
∀x ∈ E
∀y ∈ E
< f (x)| f (y) >=< x|y >
(1).
On dit aussi que f est une isométrie vectorielle.
En fait, la condition (1) entraîne f ∈ L(E).
1.2 Conditions équivalentes
f ∈ L(E) est orthogonal si, et seulement si, il vérifie l'une des conditions suivantes :
(2) f conserve la norme, soit
∀x ∈ E
f (x) = =x ;
(3) il existe une base orthonormale B telle que f (B) soit une base orthonormale ;
(4) pour toute base orthonormale B, f (B) est une base orthonormale.
1.3 Corollaire
Un endomorphisme orthogonal f appartient à GL(E). Il est appelé automorphisme
orthogonal de E.
Ses seules valeurs propres réelles possibles sont 1 et −1.
1.4 Exemples
Les symétries orthogonales et les réflexions sont des automorphismes orthogonaux.
Mais une projection orthogonale distincte de l'identité n'en est pas un ; si
x ∈ Ker p avec x = / 0, on a p(x) < x.
1.5 Groupe orthogonal
L'ensemble des automorphismes orthogonaux de E est noté O(E) et appelé
groupe orthogonal de E. C'est un sous-groupe de GL(E).
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66 Endomorphismes
orthogonaux
2 e année
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