1. Définition et premières propriétés
1.1 Définition
Un espace vectoriel euclidien E est un espace préhilbertien réel de dimension
finie n.
1.2 Propriétés
Il existe une base orthonormale B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E et, dans une telle base, pour
tout x ∈ E et y ∈ E, on a :
x =
n
i=1
< e i |x > e i ; < x|y >=
t XY ; x =
n
i=1
x
2
i .
Si F est un sous-espace vectoriel de E, on a E = F ⊕ F
⊥ .
On peut définir le projecteur orthogonal p F sur F et
F
⊥
⊥ = F.
2. Isomorphisme avec le dual
Toute forme linéaire f sur un espace euclidien E s'écrit de façon unique sous la
forme f (x) =< a|x > où a est un vecteur de E.
On a donc H =
Ra
⊥ . H est un hyperplan si f = / 0, soit a = / 0.
3. Orientation
3.1 Orientation de E
Une base orthonormale B 0 étant choisie, on dit que B est une base directe si
det B 0 B > 0 et indirecte si det B 0 B < 0.
3.2 Orientation d'un hyperplan
Un hyperplan est orienté par le choix d'un vecteur normal − → n .
Une base B de H est dite directe si, et seulement si,
B, − → n
est une base directe
de E.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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Espaces vectoriels
euclidiens
2 e année
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