5. Cas d'un sous-espace F de dimension finie dans un
espace E de dimension infinie
5.1 Théorème
E = F ⊕ F
⊥
On peut donc définir le projecteur orthogonal p F sur F.
Si (e 1 ,. . . ,e p ) est une base orthonormale de F, on a :
∀x ∈ E
p F (x) =
p
i=1
< e i |x > e i .
5.2 Définition
On appelle distance d'un élément x de E au sous-espace de dimension finie F le
nombre :
d(x,F) = inf
z∈F
x − z .
5.3 Théorème
d(x,F) est un minimum atteint en un point, et un seul, z = p F (x) , et l'on a :
x
2
= =p F (x)
2
+ d(x,F)
2 .
Attention, il est important que F soit de dimension finie.
5.4 Inégalité de Bessel
Si (e 1 ,. . . ,e p ) est une base orthonormale de F, on a :
∀x ∈ E
p
j=1
< e j |x >
2 x
2 .
Orthogonalité
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espace E de dimension infinie
5.1 Théorème
E = F ⊕ F
⊥
On peut donc définir le projecteur orthogonal p F sur F.
Si (e 1 ,. . . ,e p ) est une base orthonormale de F, on a :
∀x ∈ E
p F (x) =
p
i=1
< e i |x > e i .
5.2 Définition
On appelle distance d'un élément x de E au sous-espace de dimension finie F le
nombre :
d(x,F) = inf
z∈F
x − z .
5.3 Théorème
d(x,F) est un minimum atteint en un point, et un seul, z = p F (x) , et l'on a :
x
2
= =p F (x)
2
+ d(x,F)
2 .
Attention, il est important que F soit de dimension finie.
5.4 Inégalité de Bessel
Si (e 1 ,. . . ,e p ) est une base orthonormale de F, on a :
∀x ∈ E
p
j=1
< e j |x >
2 x
2 .
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