4. Orthogonalité en dimension finie
4.1 Méthode d'orthogonalisation de Schmidt
Soit (x 1 ,. . . ,x n ) une famille libre de E ; il existe une famille libre orthogonale
(y 1 ,. . . ,y n ) telle que Vect(x 1 ,. . . ,x n ) = Vect(y 1 ,. . . ,y n ) .
Dans la méthode de Schmidt, elle se construit par récurrence en posant :
y 1 = x 1
puis y k = x k −
k−1
i=1
λ i y i
avec λ i =
< y i |x k >
< y i |y i >
·
Si K = C, faites attention à l'ordre des produits scalaires dans λ i .
4.2 Corollaire
Tout espace préhilbertien E de dimension finie n admet une base orthonormale.
4.3 Intérêt d'une base orthonormale
Soit E muni d'une base orthonormale (e 1 ,. . . ,e n ).
Si x =
n
i=1
x i e i , on a x i =< e i |x >.
Attention à l'ordre du produit scalaire si K = C.
X et Y étant les matrices colonnes des coordonnées de x et de y, on a :
< x|y >=
t XY ; x =
t X X ; d(x,y) =
n
i=1
|x i − y i |
2 .
4.4 Théorème
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien E de dimension finie n ;
alors E = F ⊕ F
⊥ .
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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