On dit que F et G sont orthogonaux, et on note F⊥G, quand :
∀x ∈ F ∀y ∈ G < x|y >= 0 .
Dans R
3 , on définit ainsi l'orthogonalité d'une droite et d'un plan,
mais deux plans ne peuvent pas être orthogonaux.
L'orthogonal de F est le sous-espace vectoriel défini par :
F
⊥
= {x ∈ E ; ∀y ∈ F < x|y >= 0} .
2.2 Propriétés
E
⊥
= {0} ; {0}
⊥
= E ; F⊥G ⇐⇒ F ⊂ G
⊥
⇐⇒ G ⊂ F
⊥
Attention, F⊥G n'entraîne pas G = F
⊥ .
F ⊂ G ⇒ G
⊥
⊂ F
⊥ ; F ⊂
F
⊥
⊥ ; F ∩ F
⊥
= {0}
Attention, en général E = / F ⊕ F
⊥ et F = /
F
⊥
⊥ .
3. Supplémentaire orthogonal
3.1 Définition
Dans un espace préhilbertien E, deux sous-espaces vectoriels F et G sont dits
supplémentaires orthogonaux quand :
E = F ⊕ G et F⊥G .
3.2 Propriété
Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, on a F = G
⊥ , G = F
⊥ , d'où
F
⊥
⊥ = F.
3.3 Projecteur orthogonal
p ∈ L(E) est un projecteur orthogonal quand p
2
= p et Im p ⊥Ker p.
Im p et Ker p sont alors supplémentaires orthogonaux.
Orthogonalité
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