Le corps de base est K = R ou C.
1. Vecteurs orthogonaux
1.1 Définitions
Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si < x|y >= 0 ; on note x⊥y.
Une famille de vecteurs (x i ) i∈I est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux
orthogonaux.
Une famille de vecteurs (x i ) i∈I est orthonormale si elle est orthogonale et si les
vecteurs sont tous unitaires.
1.2 Propriété
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
1.3 Théorème de Pythagore
Si (x i ) i∈I est une famille orthogonale finie, on a :
i∈I
x i
2 =
i∈I
x i
2 .
Attention, si K = R, on a l'équivalence :
x⊥y ⇐⇒ ⇒x + y
2
= =x
2
+ +y
2 ,
mais si K = C, on a seulement :
x⊥y ⇒x + y
2
= =x
2
+ +y
2 .
La réciproque est fausse car l'égalité entraîne seulement :
Re < x|y >= 0 .
2. Sous-espaces vectoriels orthogonaux
2.1 Définitions
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien E.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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Orthogonalité
2 e année
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