est linéaire à droite, soit :
∀(x,y 1 ,y 2 ) ∈ E
3
∀(λ 1 ,λ 2 ) ∈ C
2
ϕ(x,λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 ϕ(x,y 1 ) + λ 2 ϕ(x,y 2 )
est donc semi-linéaire à gauche, soit :
∀(x 1 ,x 2 ,y) ∈ E
3
∀(λ 1 ,λ 2 ) ∈ C
2
ϕ(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ,y) = λ 1 ϕ(x 1 ,y) + λ 2 ϕ(x 2 ,y)
est définie positive, soit :
∀x ∈ E
ϕ(x,x) 0
;
ϕ(x,x) = 0 ⇐⇒ x = 0 .
Remarquez que, grâce à la symétrie hermitienne, on a bien
ϕ(x,x) ∈ R.
On dit que (E,ϕ) est un espace préhilbertien complexe.
ϕ(x,y) se note < x | y > ou (x | y).
• Exemples
Dans C
n
< X | Y >=
t X Y =
n
i=1
x i y i .
Dans E = C
[a,b],C
< f | g >=
b
a
f (t) g(t)dt .
3.2 Norme hermitienne
E étant un C-espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien, on définit une
norme sur E en posant :
∀x ∈ E
x =
< x | x > ,
On obtient aussi une distance en posant d(x,y) = =x − y.
3.3 Relations entre produit scalaire et norme
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x + y
2
= =x
2
+ +y
2
+ 2 Re < x | y > ,
x + y
2
+ +x − y
2
= 2
x
2
+ +y
2
.
4 < x | y >= =x + y
2
− −x − y
2
− ix + iy
2
+ ix − iy
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Espaces préhilbertiens 63
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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