2.2 Norme euclidienne
E étant un R-espace vectoriel muni d'un produit scalaire, en posant
∀x ∈ E
x =
< x | x > ,
on définit une norme sur E.
On obtient aussi une distance en posant d(x,y) = =x − y.
2.3 Relations entre produit scalaire et norme
• Égalité de polarisation
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x + y
2
= =x
2
+ +y
2
+ 2 < x | y > ,
ce qui permet d'obtenir le produit scalaire < x | y > en fonction des normes.
• Identité du parallélogramme
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x + y
2
+ +x − y
2
= 2
x
2
+ +y
2
.
Cette égalité est la généralisation de la propriété géométrique : dans
un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés.
2.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz
∀x ∈ E ∀y ∈ E
< x | y >
xy .
Dans cette inégalité, l'égalité a lieu si, et seulement si, x et y sont liés.
Pour retenir ce théorème, pensez au cas particulier de deux vecteurs
du plan et à
− → x · − → y = = − → x − → y cos ( − → x , − → y ) .
3. Espaces préhilbertiens complexes
3.1 Produit scalaire hermitien
• Définitions
Soit E un C-espace vectoriel. Un produit scalaire hermitien sur E est une application ϕ de E × E dans C qui vérifie la symétrie hermitienne, soit :
∀(x,y) ∈ E
2
ϕ(x,y) = ϕ(y,x)
Espaces préhilbertiens
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