2.2 Polynôme minimal
L'ensemble des polynômes annulateurs de f, c'est-à-dire le noyau du morphisme
P → P( f ), est un idéal de K[X].
L'unique polynôme normalisé qui engendre cet idéal est le polynôme minimal de f.
3. Condition nécessaire et suffisante pour f diagonalisable
f est diagonalisable si, et seulement si, il existe un polynôme scindé, annulateur
de f, dont toutes les racines sont simples.
4. Théorème de Cayley-Hamilton
4.1 Théorème
Si E est de dimension finie, le polynôme caractéristique de f est un polynôme
annulateur de f.
Le polynôme minimal de f divise donc le polynôme caractéristique de f.
4.2 Application au calcul de A
m
Si P est un polynôme annulateur de A, la division euclidienne
X
m
= P(X) Q m (X) + R m (X)
entraîne A
m
= R m (A).
Cette méthode reste valable même si A n'est pas diagonalisable.
4.3 Application au calcul de A
−1
Si A est inversible, on a :
a 0 I + a 1 A + · · · + a n A
n
= 0
avec a 0 = det A = / 0,
d'où : −
1
a 0
a 1 I + · · · + a n A
n−1
A = I
soit :
A
−1
= −
1
a 0
a 1 I + · · · + a n A
n−1
.
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Polynômes annulateurs 62
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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