1. Polynôme d'un endomorphisme
1.1 Définition
Étant donnés un endomorphisme f d'un K-espace vectoriel E et un polynôme
P(X) = a 0 + a 1 X + · · · + a p X
p à coefficients dans K, on note P( f ) l'endomorphisme de E défini par :
P( f ) = a 0 Id E + a 1 f + · · · + a p f
p .
1.2 Propriétés algébriques
Si f ∈ L(E), P ∈ K[X], Q ∈ K[X] et λ ∈ K, on a :
(P + Q) ( f ) = P( f ) + Q( f ) ; (λP) ( f ) = λP( f ) ;
(P Q) ( f ) = P( f ) ◦ Q( f ) = Q( f ) ◦ P( f ) .
Cette dernière relation entraîne que tous les polynômes d'un même endomorphisme commutent entre eux.
On peut dire aussi que, pour f donné, l'application P → P( f ) est un morphisme
de l'algèbre K[X] dans l'algèbre L(E).
Ce morphisme n'est pas surjectif puisque L(E) n'est pas commutatif.
1.3 Stabilité
Pour tout P ∈ K[X], Im P( f ) et Ker P( f ) sont stables par f.
1.4 Propriété des valeurs propres
Pour tout P ∈ K[X], si λ est une valeur propre de f, alors P(λ) est une valeur
propre de P( f ).
1.5 Théorème de décomposition des noyaux
Si P et Q sont premiers entre eux, on a :
Ker P Q( f ) = Ker P( f ) ⊕ Ker Q( f ) .
2. Polynôme annulateur
2.1 Définition
On dit que P est un polynôme annulateur de f si P( f ) = 0.
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62 Polynômes annulateurs
2 e année
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