2.4 Calcul de A
m
Si A est diagonalisable, il existe une matrice de passage P telle que
A = P D P
−1 . On a alors A
m
= P D
m P
−1 .
Et si D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) alors D
m
= diag(λ
m
1 ,. . . ,λ
m
n ).
3. Trigonalisation
3.1 Définition
Un endomorphisme f ∈ L(E) est trigonalisable s'il existe une base de E dans
laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.
Une matrice carrée A est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
3.2 Théorème
Si le polynôme caractéristique de f est scindé, f est trigonalisable.
En particulier, tout endomorphisme est trigonalisable sur C.
Les éléments diagonaux de la matrice triangulaire représentant f sont les valeurs
propres de f.
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Réduction des endomorphismes 61
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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