• Définitions
Le polynôme P(λ) = det(A − λ I ) est le polynôme caractéristique de A.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, ce qui permet
de définir le polynôme caractéristique d'un endomorphisme.
Les zéros de P A sont les valeurs propres de A. Si λ est racine d'ordre m λ de P A ,
on dit que λ est valeur propre d'ordre m λ .
On a toujours 1 dim(E λ ) m λ où E λ est l'espace propre associé.
• Cas où P A est scindé
On a alors :
trA =
n
k=1
λ k
et
det A =
n
k=1
λ k .
2. Diagonalisation
Soit E de dimension finie.
2.1 Définitions
Un endomorphisme f ∈ L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans
laquelle la matrice de f est diagonale, c'est-à-dire s'il existe une base de E formée
de vecteurs propres de f.
Une matrice carrée A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale D, c'est-à-dire si elle s'écrit
A = P D P
−1
où P est la matrice de passage de la base canonique de K
n à une base de vecteurs
propres de A.
2.2 Condition suffisante
Si dim E = n et si f a n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.
2.3 Condition nécessaire et suffisante
f diagonalisable ⇐⇒ E est somme directe des sous-espaces propres ;
⇐⇒ E admet une base de vecteurs propres ;
⇐⇒ le polynôme caractéristique de f est scindé et, pour toute valeur propre λ k
d'ordre m k , on a :
dim(E λ k ) = m k .
Réduction des endomorphismes
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