1. Éléments propres d'un endomorphisme
Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E).
1.1 Définitions
• Un vecteur non nul x ∈ E est un vecteur propre de f s'il existe λ ∈ K tel que
f (x) = λ x. Le scalaire λ est la valeur propre associée à x.
• Un scalaire λ ∈ K est une valeur propre de f s'il existe un vecteur non nul
x ∈ E tel que f (x) = λ x. Le vecteur x est un vecteur propre associé à λ.
• L'ensemble E λ = {x ∈ E ; f (x) = λ x} = Ker
f − λ Id E
est le sous-espace
propre associé à λ.
• Le spectre de f est l'ensemble S p ( f ) des valeurs propres de f.
1.2 Propriétés
• λ est une valeur propre de f si, et seulement si, Ker( f − λ Id E ) = / {0}.
En particulier, 0 est valeur propre de f si, et seulement si, Ker f = / {0}, soit f non
injectif.
• Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres toutes distinctes, est libre.
• La somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est
directe.
Attention, en général E = /
k
E λ k . Par exemple, si f
2
= 0 avec
f = / 0, 0 est la seule valeur propre possible et pourtant E = / Ker f.
1.3 Polynôme caractéristique
Soit E de dimension finie et A une matrice carrée représentant un endomorphisme f dans une base fixée.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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Réduction
des endomorphismes
2 e année
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